hp型谱元法的最新进展、应用及展望

标题文章发表为Journal of Hydrodynamics第30卷第一期第一篇文章，是Journal of Hydrodynamics和Springer Nature合作以来的首篇OA的文章。

本文主要介绍了hp型谱元法的最新进展及其在流体动力学中的应用，并简要讨论了该方法的数值优势和鲁棒性。特别强调了局部和全局去混淆误差技术和谱消去黏性（Spectral vanishing viscosity，SVV）方法的最新发展。针对SVV，对于高雷诺流体流动，强调了hp型谱元方法中基于SVV的隐式大涡模拟概念。正如文中所述，hp型谱方法结合了经典的h型有限元方法的处理复杂几何的灵活性与谱方法的高精度数值特性。其在粗的有限元网格上采用分片的高阶正交多项式形式的基函数进行数值逼近，例如勒让德（Legendre）或切比雪夫（Chebychev）多项式，这些多项式被修改以适应展开的空间整体C⁰连续性。从数值计算与理论上讲，通过增加多项式阶数p，采用hp型谱元法可以获得高精度解和快速收敛。特别地，在一定的正则性假设下，可以获得数值解和精确解之间指数下降的逼近误差 。在实施hp型谱元法上，开源项Nektar++已经为实现hp型谱元法提供了一个有效的框架。在这个框架下，Nektar++可以为工程和科学应用中的大范围物理过程的建模提供支持。为了实现高精度瞬态问题的模拟，Nektar++中除了实现高阶hp型谱元空间离散外，也实现了高阶时间积分方法。为了适应具有曲线或者曲面的计算几何上的高精度计算，与Nektar++捆绑在一起的网格生成实用软件NekMesh可用于高阶网格的生成，并支持多种高阶网格生成方法。现在，hp型谱元法已经被应用于许多基本和实际工程流动问题的仿真研究中。此文中，简要描述了hp型谱元法的公式，并重点介绍了hp型谱元法的使用，概述了其在计算流体动力学中的应用，特别是在过渡流和海洋工程中的应用。最后，讨论了在更复杂的科学和工程应用中使用hp型谱元方法而需要克服的一些主要的挑战。

开源软件项目，Nektar++，由计算流体力学教授Spencer Sherwin 领导实施。Spencer Sherwin教授是伦敦帝国理工学院航空系空气动力学系主任。 Sherwin教授于1992年获普林斯顿大学机械与航空航天工程系的硕士学位，并于1995年获得博士学位。在此之前， Sherwin教授于1990年在伦敦帝国理工学院航空系获得工学学士学位。1995年， Sherwin教授作为讲师加入了伦敦帝国理工学院航空系，随后于2005年成为正教授。在过去的27年中， Sherwin教授一直致力于开发和应用先进的并行hp型谱元法，并将其应用于围绕复杂几何形状的流动问题，特别是涡流、钝体绕流、心血管系统的生物医学建模。最近， Sherwin教授已将hp型谱元法应用于迈凯轮赛车和劳斯莱斯合作的工业实践中。 Sherwin教授的研究小组开发和发布开源hp型谱元软件包Nektar ++（www.nektar.info），此软件包已经被应用于直接数值模拟、大涡模拟和稳定性分析等一系列应用，包括与之相关的涡流、海洋工程、车辆空气动力学以及与动脉硬化相关的生物医学流动。 Sherwin教授在国际期刊上发表了170多篇同行评议论文，内容涉及数值分析、应用与基础流体力学等方面的内容。 Sherwin教授合作撰写了一本由牛津大学出版社出版的关于hp型谱元法的高引用率流行书籍。自2014年以来，Sherwin教授一直担任流体力学杂志的副主编。 Sherwin教授是皇家航空学会院士，美国物理学会会员， Sherwin教授于2017年当选为皇家工程院院士。